Générer l'ensemble des racines de l'unité - Corrigé

Énoncé

1. Dans cette question, on pose \(\omega=\text e^{\frac{2i\pi}{3}}\) .
    a. Rappeler pourquoi \(\omega\) est une racine \(6^\text{e}\) de l'unité et montrer que les nombres \(\omega\) , \(\omega^2\) , \(\omega^3 , \omega^4\)  et \(\omega^5\) sont aussi des racines \(6^\text{e}\) de l'unité.
    b. Les nombres \(1, \omega , \omega^2 , \omega^3 , \omega^4\)  et \(\omega^5\) forment-ils l'ensemble des racine \(6^\text{e}\) de l'unité ?

2. Soit \(\omega\) une racine \(7^\text{e}\) de l'unité, différente de 1.  Démontrer que les racines  \(7^\text{e}\) de l'unité sont 1, \(\omega , \omega^2 , \omega^3 , \omega^4 , \omega^5\) et \(\omega^6\) .

Solution

1. a. \(\left( \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \right)^6 = \text e^{\frac{12i\pi}{3}} = \text e^{4i\pi} = 1\)
On a \(\left( \omega^2 \right)^6 = \left( \left( \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \right)^2 \right)^6= \left( \left( \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \right)^6 \right)^2 = 1^2 = 1\)
De même pour \(\omega^3 , \omega^4 , \omega^5\) .

b. Non, car \(\omega^4 = \text e^{\frac{8i\pi}{3}} = \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \omega ,\)   et donc \(\omega^5 = \omega^2 = e^{\frac{4i\pi}{3}}\)  et \(\omega^3=1\) .
Ainsi \(\text e^{\frac{i\pi}{3}}\) , qui est aussi une racine \(6^\text{e}\) de l'unité, n'est pas un des nombres \(1, \omega , \omega^2 , \omega^3 , \omega^4 , \omega^5\) .

2. Les racines \(7^\text{e}\)  de l'unité sont les éléments de \(\mathbb{U}_7 = \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{7}} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{7}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{7}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{7}} ; \text e^{\frac{10i\pi}{7}} ; \text e^{\frac{12i\pi}{7}} \right\rbrace\) .
\(\omega\) est une racine \(7^\text{e}\) de l'unité différente de \(1\) , soit donc \(k \in \{1;2;3;4;5;6 \}\) tel que \(\omega=\text e^{\frac{2ik\pi}{7}}\)
On a alors, pour tout \(p \in \{1;2;3;4;5;6 \}\) , \(\omega^p = \text e^{\frac{2pk\pi}{7}}\) ,
donc  \(\left( \omega^p \right)^7 = \left( \text e^{\frac{2pk\pi}{7}} \right)^7= \text e^{2pk\pi} = \left( \text e^{2p\pi} \right)^k= 1^k=1\) .
Montrons que ces racines \(7^\text{e}\)  de l'unité: \(1, \omega , \omega^2 , \omega^3 , \omega^4 , \omega^5\)  et \(\omega^6\) sont deux à deux distinctes.
Soit \(p \in \{1;2;3;4;5;6 \}\) et \(q \in \{1;2;3;4;5;6 \}\) ,
\(\begin{align*}\omega^p = \omega^q & \iff \text e^{\frac{2pk\pi}{7}} = \text e^{\frac{2qk\pi}{7}}\\ & \iff \frac{2pk\pi}{7} \equiv \frac{2qk\pi}{7} [2\pi]\\ & \iff pk \equiv qk [7]\\ & \iff pk - qk \equiv 0 [7]\\ & \iff k (p- q) \equiv 0 [7]\end{align*}\)
Or, d'après la table de multiplication modulo 7,  \(k (p- q) \equiv 0 [7] \iff k=0 \equiv 0 [7] \text{ ou } p- q \equiv 0 [7]\)
Et comme \(k \in \{1;2;3;4;5;6 \}\) , on a donc  \(p- q \equiv 0 [7]\) et comme \(p \in \{0; 1;2;3;4;5;6 \}\) et \(q \in \{0,1;2;3;4;5;6 \}\) , on a \(p-q \in \{ -6;-5;...;5;6\}\) donc \(p-q=0\) (le seul multiple de 7 dans \(\{ -6;-5;...;5;6\}\) ).
Donc \(p=q\) .

Ainsi, sept racines \(7^\text{e}\) de l'unité :  \(1, \omega , \omega^2 , \omega^3 , \omega^4 , \omega^5\)  et \(\omega^6\) sont deux à deux distinctes, ce sont donc les racines \(7^\text{e}\) de l'unité.